例谈中学四大数学思想方法的塑造

2015-01-14 09:31:58 来源：江西西山初中部点击阅读数：次编辑:胡珊

【摘要】新课标指出数学思想方法是中学基础的重要组成部分，因此数学思想方法在中学教学中就具有举足轻重的地位，本文将结合新课改《教学大纲》、数学思想方法的地位和有关例题来谈谈中学数学思想方法的塑造。
【关键词】函数与方程数形结合分类讨论化归与转化

例谈中学四大数学思想方法的塑造

1．问题的引入
1.1 新课程改革下的数学教学理念
随着新的数学课程实施不断地推进与深入，“数学教育的根本目的不是只是的传授而是学生的成长”的理念以及“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程”的数学教学本质属性，同时中学数学教学大纲中明确指出：“数学基础知识是指数学中的概念、性质、公式、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。”
新课标《教学大纲》明确的把数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，这不仅体现了新课程改革下义务教育以人为本的重要性质，也是对学生实施创新教育、培训创新思维、让学生全面发展的重要保证。
1.2 数学思想方法的定义
数学方法，即解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映；数学思想是数学的灵魂，数学方法则是数学的行为；这二者有着辩证统一的关系，一般的，我们把数学思想与数学方法统称为数学思想方法，即数学思想方法是指客观现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，是物质的；经过人的思维活动（意识）而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、发展等）的本质认识。
1.3 中学数学教学中数学思想方法的塑造的必要性
发展心理学理论中指出，初中学生的思维从形式思维为主向辩证思维过度，高中学生的思维则是辩证思维的形成。一般地，任何数学思维都离不开数学思想方法。因此，进行数学思想方法的塑造，不仅有助于学生从形象思维向辩证思维（或者说由具体到抽象）过度，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径。
从认知心理学的角度而言，数学学习过程是一个数学认知结构变化发展的过程，这个过程通过同化和顺应两种方式来实现，当然内因和外因对于数学思想方法的塑造也有一定的影响；在同化中，数学基础知识不具备思维特点和能动性，不能指导“加工”过程的进行，而心理成分只给学生提供愿望和动力，提供主体的认知特点，仅凭它也不能实现“加工”过程。数学思想方法不仅提供思维策略或者说设计思想，而且还提供实施目标的具体手段（解题方法）。
由学习迁移理论可知：数学思想方法有利于学生迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以提高学习质量和数学能力。布鲁纳认为“学习基本原理的目的就在于促进记忆的丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来，高明的数学理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”
综上所述，数学思想方法作为数学学科的“一般理论”，在教学中起着至关重要的作用，因此，对于中学生不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学思想方法将伴随着他，而且时刻发挥作用，使他们受益终生。
2．中学阶段的四大重要数学思想方法
中学数学中的四大数学思想方法分别是函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想。这些数学思想方法贯穿于整个中学，并能直接影响学生的数学学习，同时密切联系自然科学与社会学科。下面本人结合一些例题谈谈中学阶段四大数学思想方法的塑造。
2.1 函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学的基本思想。函数与方程是两个不同的概念但是有着密切的练习；对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。
从理论上讲，函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
在中学数学中，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，求解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

点评：此方法把求最值问题的题目转化为利用数形结合、求解一次函数和圆相交时斜率的最值问题；这种构造函数的解题思想是中学数学经常用到、也是最实用的思想方法；另外，一题多解是塑造数学思想方法的有效方法。
2.2 数形结合思想
从哲学的角度讲，“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。我国著名数学家华罗庚先生曾感言：“数缺行时少直觉，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”由此可见数形结合思想在数学中的地位是何等的重要。
数形结合思想，包含两层含义，即“以形助数”和“以数辅形”，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。
在例1方法二中已经涉及数形结合思想在解题中的应用，“以形助数”和“以数辅形”两方面都得以展现，下面再作进一步的认识：

点评：此题从代数的角度来解很难下手，但是我们如果借助于数形结合思想转化为平面几何问题那么此题就迎刃而解了，很多代数问题都可以借助数形结合的思想来解，不仅可以省时间，而且还使解题过程言简意赅。
2.3 分类讨论思想
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答；我们把这种解决问题的思想叫做分类讨论思想。
诱发分类讨论的因素有很多，可以是概念、法则等的规定，如解绝对值不等式、解分式方程等；可以是函数性质、定理、公式的限制，图形（如点、边、角等）位置的不确定；也可以是参数的变化以及实际问题等都可以引发分类讨论；由此可见分类讨论思想在我们学习生活中无处不在。

点评：此题是福建省漳州市2010-2011学年七年级下学期期末考试题最后一题，其中的第三问就用了分类讨论思想，由于点E以及三角形AHE的边的不确定，所以三角形AHE的形状就不确定，因此需要以三角形的边或角来进行分类讨论，另外，值得注意的是进行分类讨论完后，要写上一句总结性的话来概括分类讨论后的最后结果；分类讨论的情况因不确定因素而定，这里就不再一一举例了。
2.4化归与转化思想
化归与转化是两种数学思想方法，在解题过程中二者具有紧密的联系，因此我们通常把这二者统称为化归与转化思想。化归思想，就是在解决和研究某些数学问题时，采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。转化思想，是实现问题规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧，达到解决问题的目的，解题的过程其实质就是转化的过程。化归与转化思想应遵循最终结果简单化、具体化、和谐化、标准形式化、低层次化原则；化归与转化中常用到的数学方法有：消元法、换元法、配方法、图形法、待定系数法等等。

再代入求值。有些题目中往往所给的解析式不是关于的解析式，这时需要我们把解析式进行转化，本题中先把函数进行转化，然后进行运算。
以上四大数学思想方法是中学阶段常用常考的数学思想方法，在学习中要牢固掌握这些数学思想方法还应该做到以下几点：
第一，在学习知识的时候不轻易下定义、下结论，反复验证、合作探究；
第二，在学习定理、公式、法则的过程中要注重其过程，不要只限于结论；
第三，在问题解决、知识归纳过程中要尝试归纳概括其运用技巧与方法；
第四，在解题过程中从多角度、多方位去思考，学会一题多解，举一反三，多题一解，在反思中重现数学思想方法。

【参考文献】
[1] 涂荣豹王光明宁连华.新编数学教学论.华东师范大学出版社，2006.9
[2] 孙朝人.初中数学思想方法教学的基本途径.中学数学教学参考，1998.11
[3] 钱珮林.中学数学思想方法.北京师范大学出版社.第2版，2010.6

The middle school mathematics thought method of the model
Junior middle departments of Jiangxi province xishan school
Zhongbao.song
【Abstract】The new lesson’s standard points out that the mathematical way of thinking is the middle school is an important part of basis, so mathematical way of thinking in the shape of the middle school teaching is the important status. The word will be in combination with the teaching outline of the new lessons, the status and some examples to talk about the middle school mathematics thought method of the model.
【key words】The middle school mathematics thought method

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